normale verdeling

In veel gevallen wordt uitdrukkelijk aangegeven dat iets normaal verdeeld is.De normale verdeling is in wezen een continue verdeling, in tegenstelling tot discrete kansverdelingen zoals de binomiale of hypergeometrische verdeling. Bij een discrete verdeling betekent groter dan 20 het zelfde als minstens 21. Bij een continue verdeling zitten er tussen 20 en 21 talloze getallen.

Een standaardvraag is het berekenen van een (overschrijdings)kans bij gegeven gemiddelde en standaardafwijking.

1. Kies in het hoofdmenu voor STAT
2. Kies voor DIST F5
3. Kies voor NORM F1
4. Kies Ncd F2
5. Zorg dat Data op Variabele staat.
6. Typ achter Lower de ondergrens, als er geen ondergrens is een getal dat voldoende klein is (bijv. minstens 10 maal de sd onder het gemiddelde )
7. Typ achter Upper de bovengrens, als er geen bovengrens is een getal dat voldoende groot is (bijv. minstens 10 maal de sd boven het gemiddelde)
8. Typ achter s: de standaardafwijking
9. Type achter µ: het gemiddelde
10. Ga m.b.v. cursor toets naar de laatste regel (met Execute)
11. Druk op F6 (Draw)

Je krijgt nu het antwoord mét een plaatje

Normal C.D kan ook direct worden aangeroepen, bijv. in het reken (RUN) menu.

1. Ga naar menu 1 (RUN-MAT)
2. Druk op OPTN
3. Kies voor STAT F5
4. Kies voor DIST F3
5. Kies voor NORM F1
6. Kies voor Ncd F2
7. Vul de waarden voor ondergrens, bovengrens, s, en µ gescheiden door komma's (in deze volgorde !) in.
8. Druk op EXE

1. Open de lijst: CATALOG (SHIFT  4 )
2. Kies categorie (CTGY) Statistics F6   3 
3. Loop de lijst door of druk op de toets die hoort bij de  N  (8)
4. Kies NormCD en druk op EXE
5. Vul de waarden voor ondergrens, bovengrens, s, en µ gescheiden door komma's (in deze volgorde !) in.
6. Druk op EXE

NormCD is via het GRAPH-menu makkelijk in beeld te brengen

1. Ga naar het grafiekmenu MENU 5
2. Haal (bijv via CATALOG) NormCD op
3. Vul voor de ondergrens een geschikt getal in (voldoende klein) , en voor de bovengrens X (de toets recht onder de ALPHA, s, en µ gescheiden door komma's (in deze volgorde !) in.
4. Stel het tekenvenster goed in
   • neem voor Xmin een getal dat ongeveer 3 standaardafijkingen onder het gemiddelde ligt
   • neem voor Xmax een getal dat ongeveer 3 standaardafijkingen boven het gemiddelde ligt
   • De y-waarden (kansen ) liggen altijd tussen 0 en 1

In plaats van een variabele bovengrens kan natuurlijk ook een variabele ondergrens worden gekozen.

Een bekend voorbeeld is: De levensduur van een bepaald type lamp is normaal verdeeld met gegeven gemiddelde (zeg 5000 uur) en standaardafwijking (zeg 600 uur). Wanneer 5% van de lampen kapot is worden alle lampen vervangen. Na hoeveel tijd moet dat gebeuren ?

1. Kies in het hoofdmenu voor STAT
2. Kies voor DIST F5
3. Kies voor NORM F1
4. Kies voor InvN F3
5. Zorg dat Data op Variabele staat F2
6. Kies voor Tail: (in dit geval) Left
7. Typ achter Area 0.05
8. Typ achter s: 600
9. Typ achter µ: 5000
10. Druk op   F1   (Calc) of op EXE

Inv Normal kan ook direct worden aangeroepen, bijv. in het reken (RUN) menu.

1. Ga naar menu 1 (RUN-MAT)
2. Druk op OPTN
3. Kies voor STAT F5
4. Kies voor DIST F3
5. Kies voor NORM F1
6. Kies voor InvN F3
7. Vul de waarden voor Tail (-1,0 of 1), gebied, s, en µ gescheiden door komma's (in deze volgorde !) in.
8. Druk op EXE

Wanneer de staart(Tail) links zit (-1) kan de waarde worden weggelaten

1. Open de lijst: CATALOG (SHIFT  4 )
2. Kies categorie (CTGY) Statistics F6   3 
3. Loop de lijst door of druk op de toets die hoort bij de  I  ( ( )
4. Kies InvNormCD en druk op EXE
5. Vul de waarden voor Tail (-1,0 of 1), gebied, s, en µ gescheiden door komma's (in deze volgorde !) in.
6. Druk op EXE

Het is ook mogelijk om de vergelijking NormCD(0,X,600,5000)=0.05 te laten oplossen (m.b.v. G-solve, Solver of SolveN)

Een voorbeeld: Op welke gemiddelde moet een vulmachine(met gegeven standaardafwijking,zeg 1,3 ml ) worden afgesteld, om te zorgen dat 99% van de pakken meer dan een bepaalde inhoud ( zeg 995,0 ml) heeft

1. Kies in het hoofdmenu voor STAT
2. Kies voor DIST F5
3. Kies voor NORM F1
4. Kies voor InvN F3
5. Zorg dat Data op Variabele staat F2
6. Kies voor Tail: (in dit geval) Right
7. Typ achter Area: 0.99
8. Typ achter s: 1.3
9. Typ achter µ: 0
10. Druk op   F1   (Calc) of op EXE

De grenswaarde is nu uiteraard onder 0: ca -3,0. Hieruit kan geconcludeerd worden dan het gemiddelde ingesteld moet worden op 995 + 3,0 = 998 (ml)

Er zijn talloze varianten. Een daarvan lever direct het juiste antwoord:

• neem het gebied "net omgekeerd", dus bijv: Left ipv Right
• vul voor het gemiddelde de grenswaarde in

Met behulp van symmetrie is in te zien waarom dit werkt.

1. zorg voor NormCD (bijv. via OPTNof met de CATALOG)
2. Vul de waarde voor ondergrens en bovengrens in (dat kan een heel klein of heel groot getal zijn), en de waarde van s gescheiden door komma's (in deze volgorde !) in.
3. Typ voor de onbekende µ X (gebruik de toets recht onder de ALPHA),
4. Vul de rechterkant van de vergelijking in (bij het voorbeeld 0,99 of 0,01)

Het is (uiteraard) ook mogelijk een vergelijking te gebruiken met InvNormal

Bij voorbeeld: Bij welke standaardafwijking is het mogelijkdat 99% van de pakken meer dan een bepaalde inhoud ( zeg 995,0 ml) heeft, bij een vast gemiddelde ( bijv. 1000 ml)

Wanneer de standaardafwijking onbekend is kan een aanpak zijn om met gemiddelde 0 en standaardafwijking 1 te werken. (zogenoemde z-scores):

1. Kies in het hoofdmenu voor STAT
2. Kies voor DIST F5
3. Kies voor NORM F1
4. Kies voor InvN F3
5. Zorg dat Data op Variabele staat F2
6. Kies voor Tail: (in dit geval) Right
7. Typ achter Area: 0.99
8. Typ achter s: 1
9. Typ achter µ: 0
10. Druk op   F1   (Calc) of op EXE

De berekende grenswaarde is ongeveer -2,33. Dit betekent dat de 'speelruimte' tussen de ondergrens (995 ml) en het gemiddelde (1000ml) overeenkomt met 2,33 standaardafwijkingen. Dus 2,33 s = 5 ml.
s is nu eenvoudig te berekenen.

1. zorg voor NormCD (bijv. via OPTNof met de CATALOG)
2. Vul de waarde voor ondergrens en bovengrens in (dat kan een heel klein of heel groot getal zijn) (gescheiden door komma's).
3. Vul voor de waarde van de onbekende s X (gebruik de toets recht onder de ALPHA)
4. Typ voor µ de bekende waarde
5. Vul de rechterkant van de vergelijking in (bij het voorbeeld 0,99 of 0,01), afhankelijk van de vraag of je het linker- of het rechtergebied hebt gekozen .

Bij voorbeeld: van een bepaald type batterijen (in een bepaald apparaat) heeft 18% een levenduur van minder dan 1000 uur. 24 % heeft een levensduur van meer dan 1500 uur. Bepaal -uitgaande van een normale verdeling- gemiddelde en standaardafwijking.

Wanneer de gegevens symmetrisch zijn ( bijv 18 % minder dan 1000 en 18 % meer dan 1500 is het gemiddelde natuurlijk gewoon het gemiddelde van de twee grenswaarden
Waneer dat niet zo is gebruiken we twee keer de aanpak bij D

1. Kies in het hoofdmenu voor STAT
2. Kies voor DIST F5
3. Kies voor NORM F1
4. Kies voor InvN F3
5. Zorg dat Data op Variabele staat F2
6. Kies voor Tail: Left
7. Typ achter Area: 0.18
8. Typ achter s: 1
9. Typ achter µ: 0
10. Druk op F1 (Calc) of op EXE
11. Noteer of bewaar het antwoord en ga met EXIT terug naar het vorige scherm
12. Kies voor Tail: Right
13. Typ achter Area: 0.24
14. Druk op F1 (Calc) of op EXE
15. Noteer of bewaar het antwoord en ga met EXIT terug naar het vorige scherm

Het verschil tussen beide uitkomsten (0,7063 − -0,9153 ≈ 1,62) moet corresponderen met het verschil tussen beide grenswaarden (500 uur). De standaardafwijking is nu makkelijk te berekenen: 500/1,62 ≈ 309 .
Hierna kan ook het gemiddelde bepaald worden: 1000 + 0,915 × 309 ≈ 1282 [of 1500 − 0,706 × 309]

In plaats van Tail: Right Area 0.24, kan je natuurlijk ook kiezen voor Tail: Left en Area 0.76

Bovenstaande berekening voor de sd kan ook direct worden ingevoerd:
(1500-100) / (InvNormCD(0.18,1,0) − InvNormCD(0.76,1,0))