CASIO fx-9860GII en fx-9860G met OS2

binomiale verdeling

Overzicht
Binomial P.D. (Bpd)

Deze wordt gebruikt om de kans te berekenen op (precies) een bepaald aantal 'hits', bijv. de kans dat er in een groep van 30 mensen precies 3 linkshandigen zitten, uitgaande van een kans van 10% op linkshandigheid, kort en krachtig: P(X=3|n=30;p=0,1).

aanpak met menu's
  1. Ga naar menu 2 (STAT)
  2. Kies voor DIST F5
  3. Kies voor BINM F5
  4. Kies voor Bpd F1
  5. Zorg dat Data op Variabele staat F2
  6. Vul voor x het aantal hits (3) in
  7. Vul voor Numtrial de waarde van n (30) in
  8. Vul voor p de waarde van p (0.1) in
  9. Druk op EXE

De uitkomst kan in andere menu's worden opgevraagd:

directe invoer via OPTN

BinomialPD kan ook direct worden aangeroepen, bijv. in het reken (RUN) menu.

  1. Ga naar menu 1 (RUN-MAT)
  2. Druk op OPTN
  3. Kies voor STAT F5
  4. Kies voor DIST F3
  5. Kies voor BINM F5
  6. Kies voor Bpd F1
  7. Vul de waarden voor x, n, en p gescheiden door komma's (in deze volgorde) in
  8. Druk op EXE
directe invoer via CATALOG
  1. Open de lijst: CATALOG (SHIFT  4 )
  2. Loop de lijst door of druk op de toets die hoort bij de  B  (log)
  3. Kies BinomialPD en druk op EXE
  4. Vul de waarden voor x, n, en p gescheiden door komma's (in deze volgorde) in
  5. Druk op EXE
tabel

Wanneer je wil weten wat de kansen zijn op 0,1,2, ..10 linkshandigen in een groep van 30 kun je bijv. een tabel laten maken:

  1. Ga naar menu 7 (TABLE)
  2. Ga (met behulp van de cursortoets) achter (bijv.) Y1= staan
  3. Voeg in: BinomialPD (bijv. via OPTN of met de CATALOG)
  4. Vul gescheiden door komma's X (de toets recht onder de ALPHA), 30 en 0.1 in
  5. Stel via SET(F5) de start en eindwaarde in ( 0 en 10)
  6. Druk op F6 (of op EXE)

N.B. de waarden in tabel worden afgekapt.Als je de cursor erop zet verschijnt rechts onderin een nauwkeuriger waarde

Je kunt via G-CON (F5) of G-PLT (F6) ook een grafische voorstelling krijgen, maar die stelt niet zoveel voor.

histogram

Om een histogram te maken moet je gebruik maken van de lijsten. Het is dan handig om de menu's te gebruiken

  1. Ga naar menu 2 (STAT)
  2. Vul in List 1 de getallen 0 t/m 10 in
  3. Kies voor DIST F5
  4. Kies voor BINM F5
  5. Kies voor Bpd F1
  6. Zorg dat Data op List staat F1
  7. Kies via F1voor List1
  8. Vul voor Numtrial de waarde van n (30) in
  9. Vul voor p de waarde van p (0,1) in
  10. Kies bij Save Res voor List2
  11. Druk op EXE
  12. Druk twee maal op EXIT
  13. Kies voor GRPH (F1)
  14. Kies via SET (F6) voor de juiste instellingen:
    • Graph Type: Hist
    • Xlist: List1
    • Frequency: List2
  15. Druk op EXIT
  16. Kies GRPH1 (F1)
  17. Zorg dat de Width: 1 is
  18. Druk op EXE
Binomial C.D. (Bcd)

Deze wordt gebruikt om de kans te bepalen op maximaal een bepaald aantal 'hits'.
bijv. de kans dat er in een groep van 30 mensen hoogstens 3 linkshandigen zitten, uitgaande van een kans van 10% op linkshandigheid, kortweg: P(X<3|n=30;p=0,1)

Met een kleine aanpassing kan Bcd ook gebruikt worde om de kans te berekenen dat er bijv. minstens 3 linkshandigen in de groep zitten.

aanpak met menu's
  1. Ga naar menu 2 (STAT)
  2. Kies voor DIST F5
  3. Kies voor BINM F5
  4. Kies voor Bcd F2
  5. Zorg dat Data op Variabele staat F2
  6. Vul voor x het gewenste aantal (3) in
  7. Vul voor Numtrial de waarde van n (30) in
  8. Vul voor p de waarde van p (0.1) in
  9. Druk op EXE

De kans op minstens 3 linkshandigen kan 'vertaald' worden in de kans op hoogstens 27 [20−3] rechtshandigen.(waarbij we ervan uitgaan dat iedereen f linkshandig f rechtshandig is)

  1. Vul voor x het gewenste aantal (27 of : 30 −3) in
  2. Vul voor Numtrial de waarde van n (30) in
  3. Vul voor p de waarde van p (0.9 of 1−0,1) in
  4. Druk op EXE
directe invoer via OPTN

BinomialCD kan ook direct worden aangeroepen, bijv. in het reken (RUN) menu.

  1. Ga naar menu 1 (RUN-MAT)
  2. Druk op OPTN
  3. Kies voor STAT F5
  4. Kies voor DIST F3
  5. Kies voor BINM F5
  6. Kies voor Bcd F2
  7. Vul de waarden voor x, n, en p gescheiden door komma's (in deze volgorde) in
  8. Druk op EXE

Een veel gebruikte manier om de kans op minstens 3 linkshandigen te berekenen is

  1. de kans op hoogstens 2 linkshandigen berekenen
  2. de uitkomst van 1 aftrekken

Dus 1 − P(X<2|n=30;p=0,1) in te typen als 1 − BinomialCD(2,30,0.1)

directe invoer via CATALOG
  1. Open de lijst: CATALOG (SHIFT  4 )
  2. Loop de lijst door of druk op de toets die hoort bij de  B  (log)
  3. Kies BinomialCD en druk op EXE
  4. Vul de waarden voor x, n, en p gescheiden door komma's (in deze volgorde) in
  5. Druk op EXE
tabel

Met behulp van een tabel van de cummulatieve kansen kun je een goed idee krijgen, welke uitkomsten 'normaal' zijn, en welke onwaarschijnlijk.

  1. Ga naar menu 7 (TABLE)
  2. Ga (met behulp van de cursortoets) achter (bijv.) Y1= staan
  3. zorg voor BinomialCD (bijv. via OPTNof met de CATALOG
  4. Vul gescheiden door komma's X (de toets recht onder de ALPHA), 30 en 0.1 in
  5. Stel via SET(F5) de start en eindwaarde in ( 0 en 10)
  6. Druk op F6 (of op EXE)

N.B. de waarden in tabel worden afgekapt. Als je de cursor erop zet verschijnt rechts onderin een nauwkeuriger waarde. Zo kun je zien dat de kans op hoogsten 8 linkshandigen in een groep van dertig: 0,9980 (99,80 %) is, en dus de kans op meer dan 8 linkshandigen ca. 0,20%.

Je kunt via G-CON (F5) een soort somfrequentiepolygoon laten tekenen, maar deze is wat misleidend: de grafiek moet eigenlijk een halve eenheid naar rechts verschoven worden (continuïteitscorrectie)

somfrequentiepolygoon

Om een acceptabel somfrequentiepolygoon te maken moet je gebruik maken van de lijsten. Het is dan handig om de menu's te gebruiken

  1. Ga naar menu 2 (STAT)
  2. Vul in List 1 de getallen 0 t/m 10 in
  3. Kies voor DIST F5
  4. Kies voor BINM F5
  5. Kies voor Bcd F2
  6. Zorg dat Data op List staat F1
  7. Kies via F1voor List1
  8. Vul voor Numtrial de waarde van n (30) in
  9. Vul voor p de waarde van p (0,1) in
  10. Kies bij Save Res voor List2
  11. Druk op EXE
  12. Druk twee maal op EXIT
  13. Kies voor GRPH (F1)
  14. Kies via SET (F6) voor de juiste instellingen:
    • Graph Type: Broken (F5)
    • Xlist: List1
    • Frequency: List2
  15. Druk op EXIT
  16. Kies GRPH1 (F1)
  17. Zorg dat de Width: 1 is
  18. Druk op EXE

Zoals je ziet ontbreekt het begin- en het eindstuk, maar dat er makkelijk bij te denken

Inverse Binomial CD(InvB)

Je kunt via deze mogelijkheid ook terugrekenen met de binomiale verdeling (Bcd).
We gaan dan na bij welk aantal keren een bepaalde overschrijdingskans bereikt is. Precies geformuleerd: Bij een gegeven kans α (en een gegeven p en n )gaat het om de kleinste waarde van k waarvoor geldt P(X<k)> α.

Een voorbeeld om dit te verduidelijken. Op een basischool zitten 253 leerlingen.Dat betekent -uitgaande van een kans van 10% - ca 25 linkshandigen, maar het kunnen er ook meer of minder zijn.We willen graag een schatting van het aantal linkshandigen (op die school) die in (minstens) 99% van de gevallen juist is, bijv 20 t/m 30. Wanneer we afspreken het risico eerlijk te verdelen over 'te laag' en 'te hoog' (ieder 0,005) , kunnen we met Inverse Binomial eenvoudig de grenzen bepalen.

aanpak met menu's
  1. Ga naar menu 2 (STAT)
  2. Kies voor DIST F5
  3. Kies voor BINM F5
  4. Kies voor InvB F3
  5. Zorg dat Kies voor Data op Variabele staat F2
  6. Vul voor Area de kans dat er minder linkshandigen zijn dan onze laagste schatting (0,005)
  7. Vul voor Numtrial de waarde van n (253) in
  8. Vul voor p de waarde van p (0.1) in
  9. Druk op EXE

De uitkomst xInv=14 geeft aan dat de kans dat er minder dan 14 linkshandigen zijn kleiner is dan 0,005 (deze kans blijkt ca 0,0039 te zijn) , en dat de kans dat het er hoogstens 14 (dus minder dan 15) groter is 0,005 (deze is ca 0,008)

Om de bovengrens van de schatting te bepalen kun je werken met de complementarire kans (1 − 0,005=0,995 ):

  1. Vul voor Area kans dat er niet meer linkshandigen zijn dan onze hoogste schatting (0,995)
  2. Vul voor Numtrial de waarde van n (253) in
  3. Vul voor p de waarde van p (0.1) in
  4. Druk op EXE

De uitkomst xInv=38 geeft aan dat de kans dat er meer dan 38 linkshandigen zijn kleiner dan 0,005 is.

De schatting van 14 - 38 linkshandigen zal uitgaande van de genoemde veronderstellingen in (minstens) 99 van de 100 gevallen juist blijken te zijn.

Opmerking: Het is mogelijk dat een iets andere kans, een andere grenswaarde betekent. Daar wordt (soms) voor gewaarschuwd.

directe invoer via OPTN

Ook Inverse Binomial kan direct worden aangeroepen, bijv. in het reken (RUN) menu.

  1. Ga naar menu 1 (RUN-MAT)
  2. Druk op OPTN
  3. Kies voor STAT F5
  4. Kies voor DIST F3
  5. Kies voor BINM F5
  6. Kies voor InvB F3
  7. Vul de waarden voor kans, n, en p gescheiden door komma's (in deze volgorde) in
  8. Druk op EXE
directe invoer via CATALOG
  1. Open de lijst: CATALOG (SHIFT  4 )
  2. Loop de lijst door of druk op de toets die hoort bij de  I  ( ( )
  3. Kies InvBinomialCD en druk op EXE
  4. Vul de waarden voor kans, n, en p gescheiden door komma's (in deze volgorde) in
  5. Druk op EXE
toepassingen
bepaling aantal 'duplicaten'

Om veiligheidsreden worden bepaalde apparaten soms meervoudig uitgevoerd. Wanneer een apparaat niet goed werkt is dat geen probleem, zo lang de meerderheid maar goed werkt. Wanneer een apparaat in vijfvoud is uitgevoerd kunnen er maximaal 2 apparaten kapot zijn zonder dat dit echte problemen geeft.

De vraag is hoeveel explemplaren van n apparaat zijn er nodig bij een gegeven betrouwbaarheid van dat apparaat en een gegeven risco wat men wil lopen.

Voorbeeld: een instrument dat in een vliegtuig wordt gebruikt heeft een kans van 1% om tijdens een vlucht uit te vallen. Hoeveel van deze instrumenten zijn er nodig om te zorgen voor een kans van minder dan 1 op een miljoen dat er problemen komen. We gaan ervan uit dat de instrumenten elkaar niet benvloeden, en dat er geen problemen zijn als de meerderheid van de instrumenten goed werkt.

Er ontstaan problemen wanneer het aantal instrumenten dat goed werkt kleiner of gelijk is aan de helft van het totaal aantal.Het aantal instrumenten dat goed werkt noemen we G. De bijbhorende kans is gelijk aan 99%
Wanneer het aantal instrumenten even is ontstaat er een probleem als G kleiner of gelijk is aan n/2. Bij een oneven aantal moet de grens naar beneden afgerond worden op een heel getal. Dit kan met de functie Integer [te bereiken via OPTN NUM Int ]
Dus er moet gelden: P(G< Int(n/2)|n;p=0,99) < 0,000 001.

  1. Ga naar menu 7 (TABLE)
  2. Ga (met behulp van de cursortoets) achter (bijv.) Y1= staan
  3. zorg voor BinomialCD (bijv. via OPTNof met de CATALOG
  4. Vul gescheiden door komma's Int(X/2) (gebruik de toets recht onder de ALPHA), X en 0.99 in
  5. Stel via SET(F5) de start en eindwaarde in (bijv 2 en 10)
  6. Druk op F6 (of op EXE)

In de tabel kun je zien dat dat vanaf bij n=7 de kans op problemen kleiner is dan 0,000 001. Ook kun je zien dat bij 8 instrumenten de kans op problemen groter is dan bij 7 !

terugrekenen naar betrouwbaarheid instrumenten

Een verwant probleem is het volgende. Een instrument wordt in vijfvoud uitgevoerd. Wanneer er drie of meer instrumenten niet juist functioneren ontstaan er problemen. Men wil dat de kans dat dit zich voordoet(bijv. gedurende een jaar) minder is dan 0,001 is. Hoe betrouwbaar moeten de instrumenten zijn ?

Dit probleem is aan te pakken door BinomialCD(2,5,X) nader te bekijken. Deze geeft voor voor elke p de kans P(G< 2|n=5 ) Oplossen van BinomialCD(2,5,X) =0.001 (bijv met G-Solve) geeft 0,952.. Dit betreft de kans dat een apparaat wel goed werkt. Dit betekent dat de de kans dat een instrument niet goed werkt (op jaarbasis) minder dan 5% moet zijn.


versie 1.2; 14-06-2010 Gerard Koolstra